Математическая модель процесса решения человеком прогностической задачи в проблемной ситуации

© Авторы, 2015

© ЗАО «Издательство «Радиотехника», 2015
Н.А. Рябчикова — д. биол. н., ст. науч.сотрудник кафедры высшей нервной деятельности. Биологический факультет. Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
E-mail: nat@guesstest.ru

А.В. Савельев — ст. науч. сотрудник; зам. главного редактора журнала «Нейрокомпьютеры: разработка, применение» издательства «Радиотехника»; начальник патентного агентства «©Уникально честное патентование» www.patenttt.narod.ru (Москва)
E-mail: gmkristo@yandex.ru
В.Л. Ефимова –Зам Генеральный директор ООО «Прогноз»
prefish@yandex.ru

О.И. Ефимов. — Генеральный директор ООО «Прогноз» детский невролог
prefish@yandex.ru

Halvorson P. — Research Department,Pennsylvania College of Osteopathic Medicine, Philadelphia, PA, ITAG, USA
pete@trepan.com

Приведённое в статье разработанное математическое описание прогностической деятельности человека с учетом некоторых психологических и нейрофизиологических параметров его функционального состояния позволило систематизировать полученные результаты для выявления механизмов регуляции целенаправленного поведения человека.
Ключевые слова: концептуальная модель, система «организм – внешняя среда», функциональное состояние, система линейных уравнений, ЭЭГ-активация, целенаправленная деятельность, прогностическая задача.
Described in the article the developed mathematical description of the prognostic human activities, taking into account some of the psychological and neurophysiological parameters of its functional state, allowed to systematize the results to identify the mechanisms of regulation of purposeful human behavior.
Keywords: conceptual model, «organism – environment» system, functional state, linear equation systems, EEG activation, purposeful activity, prognostic task.

Использование математических методов в нейрофизиологии и психологии важно для описания адекватного целенаправленного поведения человека в соответствии с многомерной структурой головного мозга, а также пластичностью и сложностью взаимосвязей внутри организма. При это связи элементов внутри центральной нервной системы не предполагают абсолютной устойчивости так, чтобы строгая определенность организации одних ее частей не исключала возможности изменения каких-то других. Известно, что какие-либо изменения имеют в основном статистический характер. Таким образом математическая модель должна быть как достаточно гибкой, с одной стороны, так и достаточно строгой – с другой.
Результаты экспериментов в связи с большим количеством сигналов и отмечаемых реакций важно коррелировать с большим количеством условий с учетом как зависимых, так и независимых переменных. Эффективность применения такого подхода в исследованиях показана как в работах отечественных, так и зарубежных авторов [1-4].
В целях получения статистически достоверных результатов, определяемых в рамках предложенной концептуальной модели [6], использован определенный математический метод описания полученных экспериментальным путем данных. Исследование сложных систем с учетом вероятностного взаимодействия их элементов требует перехода от обычных функциональных зависимостей между несколькими переменными к использованию матричной формы записей. Для этого использовался традиционный математический метод решения линейных уравнений [3]. Ранее физик Н.А. Романов [7], используя данные соответствия величины условно-рефлекторного слюноотделения у собаки и условной вероятности подкрепления, предложил формулы, которые количественно отражали динамику формирования и угашения условных рефлексов. При этом в качестве зависимой переменной служило количество выделяющейся слюны при действии сигнала, а независимыми переменными являлись условные и безусловные раздражители.
Существенным отличием нашей концептуальной модели формирования регуляции целенаправленного поведения человека от большинства психологических и математических теорий является учет нейрофизиологических механизмов поведения, которые рассматриваются как независимые переменные. В большинстве психологических теорий поведение человека описывается в терминах общих понятий, таких как: «ожидание награды», «латентное обучение», «опосредующие факторы», «потенциал реакции» и т. д. [6]. В рамках нашей модели большое внимание уделяется возможности количественного и системного подхода к анализу данных, которое было бы затруднительно без использования математических моделей, специального математического аппарата и статистических оценок.
Динамика регуляции целенаправленного поведения человека была представлена в виде изменения состояний элементов системы «организм – внешняя среда» [9], где в качестве элементов зависимых переменных нами рассмотрены показатели эффективности процесса прогнозирования событий, а независимых – показатели выраженности ОР в виде ЭЭГ-активации коры головного мозга. Состояние системы «организм – внешняя среда» сначала были представлены в виде системы линейных уравнений. Аналогичным образом изменения состояний элементов указанной системы можно представить в виде матрицы решений линейных уравнений. Структура матрицы отображает модель регуляции адекватного поведения человека в проблемной ситуации, для описания которой используется знаковая символика, позволяющая формализовать понятия как образующих ее элементов, так и внешней среды.
Через символы {Xp,Xe} обозначим некую систему функционального состояния испытуемых: психологического на основе тестирования – кластеры {Xp} и электрофизиологического (ЭЭГ-активация) – кластеры {Xe}. Совокупность значимых психологических состояний человека в результате психологического тестирования прогностической деятельности обозначим набором X (X1…X4) понятий,
где: X1 – ошибки прогнозирования порядка в наборе стимулов,
X2 – ошибки «отвлечения»;
X 3 – ошибки воспроизведения порядка в том же наборе;
X4 – применение различных по рациональности стратегий решения.
Далее набором таких же, но малых символов x (x11,..x1k) обозначим собственно количество ошибок прогнозирования:
x21,…,x2n – количество ошибок «отвлечения»;
x31,…,x3m – количество ошибок воспроизведения;
x41,…,x4d – степени рациональности применяемых стратегий решения,
где: k, m, n, d – соответственно порядковые номера обозначенных выше символов).
Совокупность значимых характеристик физиологического состояния испытуемого выражается в виде электрофизиологических показателей, отражающих уровень ЭЭГ- активации головного мозга человека. ЭЭГ-показатели также обозначим набором X (X5,…,X9) понятий,
где: X5 – понятие временных показателей ЭЭГ-активации альфа-ритма (ДРД ЭЭГ) в мс, характеризующих уровень внимания человека;
X6 – ЭЭГ – характеристики параметров и ПЛ (латентный период) потенциала Р300, отражающие процессы перестройки прогноза;
X7 – ЭЭГ-показатели величины спектральной мощности в альфа-диапазоне, отражающие уровень ритмической активности мозга;
X9 – характеристики Ког ЭЭГ (когерентность ЭЭГ активации полушарий мозга), отражающие степень согласованности функционирования структур мозга;
X8 – выраженность кожно-гальванической реакции (КГР), коррелирующей с уровнем эмоционально-волевой сферы человека.

Аналогично набором малых символов «x» обозначим конкретные значения введенных выше понятий:
(x51,…x5k) – ДРД, депрессия альфа-ритма (arousal) ;
(x61,…, x6n) – компонент ВП (вызванного потенциала) волны P300;
(x71,…, x7m) – СпМ, спектральная мощность в условных единицах в альфа-диапазоне;
(x81,…, x8d) – выраженность КГР;
(x91,…, x9s) – уровень Ког ЭЭГ , где: k, n, m, d, s – соответственно порядковые номера малых ”x” символов.

Для упрощения записи формул вводятся математические переменные: xpn,
где: p = 1,2,3,4, нумерующие психологические параметры;
xes, где: e = 5,6,7,8,9, нумерующие электрофизиологические параметры;
символы “n” и ”s” обозначают их порядковые номера.
Соотношение абстрактных символов и формальных логических закономерностей (аксиом) с конкретными объектами составляет основную задачу аксиоматического подхода на основе теории множеств А.М. Колмогорова [9]. В качестве элементов множества {Xp, Xe}в нашем случае выступают математические переменные – психологические и электрофизиологические параметры состояния испытуемых.
Для простоты математической записи обозначим через xac – всевозможные психологические и электрофизиологические переменные, где: индекс «а» = 1,…9, а «с» – последовательно нумерует их.
Тогда процесс регуляции целенаправленной деятельности человека, определяющей его адекватное поведение, можно представить математической моделью, которая описывается системой дифференциальных уравнений вида:
, (1)

где: переменные xac, определены выше;
i – порядковые номера психологических и электрофизиологических параметров;
u – количество циклов последовательностей, заданных экспериментатором;
fi – аналитические функции регуляции целенаправленной деятельности i-тых испытуемых.

В силу взаимно однозначного соответствия эффективности прогностической деятельности и ЭЭГ-показателей головного мозга испытуемых, экологически адекватное поведение испытуемых можно характеризовать символами fi (…).
Исходя из наших условий, в целом уравнение (1) определяет степень адекватности поведения человека по всем параметрам.
В процессе эксперимента выделяются два кластера (подмножества) испытуемых по эффективности прогнозирования, которое определяется количеством ошибочных действий и степенью рациональности используемых стратегий: fi+ – число испытуемых с адекватным (эффективным) прогнозированием (АП), fi- – число испытуемых с трудностями прогнозирования (ТП). Тогда функции fi (…) можно представить в виде:

При этом адекватность модели регуляции целенаправленного поведения человека (3) «оригиналу», т.е. поведению человека при решении прогностической задачи, определяется тем, насколько точно функции fi+(…) и fi-(…) отражают количественное выражение эффективности процесса прогнозирования.
Аналогичным способом в любой момент решения прогностической задачи влияние количества правильно предсказанных последовательностей элементов (j – того цикла) на динамику количества ошибок (i-того вида), выраженное производной: , определяется
количеством циклов, соотнесенных с количеством ошибок решения ∂xj:

(2)

Сij – частная производная от по dxj , где: i j
Для практического вычисления коэффициентов Cij в уравнение (2) вместо подставляются функции fi (xac) из уравнения (1), определяющие количественное выражение влияния переменных xac на эффективность процесса прогнозирования, и вычисляются частные производные:

(3)

В частности, если функция fi (…) представлена в виде:

, (4)
где: ri (…) — расстояние между точками фазового пространства N переменных, которое в нашем случае равно изменению всевозможных переменных, соответствующих изменению состояния объекта (испытуемого), т.е. N = a(k + n + m + d). Тогда при i ≠ j мы получим недиагональные элементы:

(5)

а при i = j — диагональные:

(6)

Из величин Cij (…) составляем квадратную матрицу, которая достаточно точно характеризует в общем виде процесс регуляции целенаправленного адекватного поведения на основе вероятностного прогнозирования в рамках поставленной задачи:

(7)

Далее матричные данные подверглись статистической обработке с помощью пакета статистических программ “Stadia” [11]. Кластерный анализ производили на основе критерия минимизации расстояния в фазовом пространстве “N” переменных.
Работа частично выполнена при финансовой поддержке РГНФ в рамках проекта № 15-03-00519а «Постнеклассическая парадигма искусственного интеллекта».

Выводы
1. Использование той или иной биологической аналогии для математического описания дает возможность легкого экспериментирования и точности описания, необходимых для систематизации полученных результатов [12]. Такое описание позволяет выделить некоторые особенности изучаемого явления, например, особенности прогностической деятельности, интересующие экспериментатора.
2. Таким образом, матрицу (6) можно назвать матрицей «эффективности», или «адекватности» целенаправленного поведения человека. Матричная форма записи позволяет наглядно представить взаимодействие множества вероятностных событий внешней среды, сигналов и реакций организма, а также оценить количественно эффективность вероятностного прогнозирования на разных этапах решения прогностической задачи.
3. Проведенное математическое описание прогностической деятельности человека с учетом некоторых психологических и нейрофизиологических параметров его функционального состояния позволило систематизировать полученные результаты для выявления механизмов регуляции целенаправленного поведения человека.